1. – 6. Schuljahr

Arne Pöhls-Stöwesand

Variationen nach dem operativen Prinzip

Ein Schulbuch und eine gewöhnliche Aufgabe

Mathematische Objekte sind oft abstrakte Gebilde. In der Grundschule werden sie auf der Handlungsebene repräsentiert. Um mathematische Objekte zu verstehen, sollen Kinder sich vorstellen können, was mit ihnen passiert, wenn man sie verändert. In diesen operativen Veränderungen liegen Lernchancen für alle Kinder.

Die Stellenwerttafel ist eingeführt. Nun sollen die Kinder zu Plättchen-Konfigurationen in der Stellenwerttafel die entsprechenden Zahlen als Symbole schreiben sowie umgekehrt zu Zahlsymbolen die Plättchen-Konfigurationen legen oder zeichnen (Abb. 1).
Wissen, in diesem Fall über Zahlen, kann verschieden repräsentiert sein. Diese Repräsentationen können nach dem E-I-S-Prinzip (Bruner 1974, S. 16 f., 49) auf verschiedenen Ebenen (enaktiv ikonisch symbolisch) liegen. Wissen kann auf der enaktiven Ebene durch konkretes Material repräsentiert sein. Es kann auch auf der ikonischen, der bildlichen, Ebene durch zeichnerische Darstellungen oder auf der symbolischen Ebene durch die Symbolsprache der Mathematik repräsentiert sein. Kinder in die Lage zu versetzen, zwischen diesen Ebenen hin und her zu wechseln, ist ein Ziel des Mathematikunterrichtes. Es herrscht Konsens darüber, dass ein mathematischer Inhalt als verstanden gilt, wenn Kinder diesen intermodalen Transfer flexibel durchführen können. Ein Missverständnis darf dabei jedoch nicht aufkommen: Eine Lehrkraft darf nicht einfach unstrukturiert eine Vielzahl derartiger Aufgaben anbieten, damit die Kinder am Ende diesen Transfer geläufig beherrschen.
Daher verändern wir die Aufgabenstellung von Aufgabe 2 (Abb. 1 ) etwas:
Lege die 26 mit Plättchen in die Stellenwerttafel.
  • Welche Zahlen entstehen, wenn du ein Plättchen dazulegst/wegnimmst? 36 oder 27 bzw. 16 oder 25
  • Wie verändert sich die Zahl, wenn du ein Plättchen dazulegst/wegnimmst? +10 oder +1 bzw. – 10 oder – 1
  • Welche Zahlen entstehen, wenn du ein Plättchen verschiebst? 17 oder 35
  • Wie verändert sich die Zahl, wenn du ein Plättchen verschiebst? – 9 oder +9
  • Wie lautet die kleinste/die größte Zahl, die man mit 8 Plättchen legen kann? 8 bzw. 80
  • Welche Zahlen kann man mit 8 Plättchen legen? 8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80
Nicht nur wurde die ursprüngliche Aufgabenstellung verändert, die Veränderung der Aufgabe ist Gegenstand der kindlichen Auseinandersetzung geworden. Das Kind wird aufgefordert, die ursprünglich gelegte Zahl selbst durch konkrete Handlungen zu verändern. Es soll darüber hinaus nicht nur das neue Ergebnis notieren, sondern auch die Veränderung wahrnehmen. Die ursprüngliche Aufgabe ist dadurch eingebunden in ein Beziehungsgeflecht von Aufgaben und Handlungen. Beziehungswissen kann aufgebaut werden.
Eine derartige Aufgabenvariation begründet sich auf dem operativen Prinzip. Die Gesamtheit der veränderten Aufgaben entspricht dem Konzept des operativen Durcharbeitens.
Das operative Prinzip im Mathematikunterricht
Dieses Unterrichtsprinzip geht zurück auf Jean Piaget und seine Theorie der Operation und die weiteren Ausarbeitungen seines Schülers Hans Aebli. Denken entwickelt sich demnach beim Kleinkind aus Handeln und Wahrnehmen. Denken ist verinnerlichtes oder vorgestelltes Tun. Handlungen an konkreten Objekten spielen dabei eine zentrale Rolle und dienen als Begründung für den Einsatz von Materialien, Wendeplättchen, Rechenschieber und Co. im Mathematikunterricht der Grundschule.
Dabei genügt es nicht, nur mit dem Material zu handeln. Die Handlungen und deren Auswirkungen müssen wahrgenommen werden, um so zu mentalen Bildern werden zu können. „Man kann mit einer gewissen Vereinfachung sagen, dass das operative Prinzip einen Unterricht leitet, der das Denken im Rahmen des Handelns weckt, es als ein System von Operationen aufbaut und es schließlich wieder in den Dienst des praktischen Handelns stellt (Aebli 1985, S. 4).
Das operative Prinzip, das aus den...

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