3. – 6. Schuljahr

Gudrun Häring

Dreiecke des MacMahon

Spielend kombinatorisch denken

Die hier vorgestellte Unterrichtsidee rückt ein kombinatorisches Legespiel ins Zentrum des Mathematikunterrichts. Das Spiel besteht aus 24 bunten Dreiecken und bietet eine Vielfalt an Spielvarianten, bei denen Geduld und kombinatorische Denkweisen gefragt sind. Die Kindern werden im Unterricht zu Spielerfindern und erfahren auf diese Weise, in welchen Lebenskontexten kombinatorische Denkweisen angewendet werden.

Mathematische Spiele begegnen uns auch im Alltag in unzähligen Variationen und faszinieren früher wie heute Kinder und Erwachsene. Manche Spiele sind in hohem Maße von Zufallsereignissen abhängig, für andere bedarf es geeigneter Gewinnstrategien. Die hier vorgestellte Unterrichtsidee verarbeitet die schon sehr alte Spielidee „Die 24 Dreiecke des MacMahon (siehe Kasten „Kombinatorische Spiele ein Blick zurück), die der besonderen Gruppe der kombinatorischen Solitaire-Spiele zuzuordnen ist.
Kombinatorische Spiele ein Blick zurück
Kombinatorische Spiele ein Blick zurück
Die 24 Dreiecke des MacMahon gehören zu der allgemeinen Gruppe kombinatorischer Problemstellungen, in denen reguläre Polygone bzw. Polyeder durch farbige Kanten, Flächen, durch Zahlen oder andere Symbole unterschiedlich gestaltet und nach festgelegten Bedingungen zusammengefügt werden müssen. Das bekannteste Spiel dieser Art ist wohl das uralte Dominospiel, das aus 28 rechteckigen Legesteinen besteht. Die Steine des Spiels sind mit 0 – 6 Punkten so versehen, dass sie alle möglichen Kombinationen zeigen. Analog dazu lassen sich allerlei weitere Spiele entwerfen, wie z.B. das hier vorgestellte Spiel der „24 Dreiecke(siehe Abb. 1).
P. A. MacMahon (1854 – 1929), der als einer der bedeutendsten Mathematiker auf dem Gebiet der kombinatorischen Analyse gilt, hat sich umfassend mit zahlreichen solcher sogenannten „Superdominos beschäftigt und seine Spielanalysen u.a. in der umfassenden Veröffentlichung „New mathematical Pastimes (1929) dokumentiert. Diese Veröffentlichung liegt der im Folgenden dargestellten Unterrichtsidee zugrunde und sei dem Leser als faszinierende Lektüre empfohlen (siehe Literatur).
Das Spiel und die Steine
Die 24 Spielsteine (Abb. 1 ) zeigen alle Möglichkeiten, die drei Felder des Dreiecks mit vier Farben zu färben, wobei sich die Farben wiederholen dürfen (siehe Abb. 1).
Die Dreiecke müssen im Spiel zu vorgegebenen komplexeren Figuren zusammengefügt werden, die nebeneinander liegenden Dreiecksseiten müssen dabei die gleiche Farbe besitzen (Abb. 2 ).
Bei diesem Spiel erweisen sich insbesondere kombinatorische Denkweisen als hilfreich, um der jeweils gesuchten Lösung auf die Spur zu kommen. Die Mathematik hilft maßgeblich, gute oder sogar optimale Gewinn- bzw. Legestrategien zu entwickeln und anzuwenden.
So entstand die Idee, im Mathematikunterricht nicht nur ausgewählte kombinatorische Problemstellungen bis zum Finden und geordneten Darstellen aller Möglichkeiten zu verfolgen, sondern diese Arbeit mit der spielerischen Erprobung und Vertiefung der endeckten kombinatorischen Denkweisen zu verknüpfen. Die Kinder werden in der vorgestellten Unterrichtseinheit zu „Spiele-Erfindern. Sie gestalten und erproben das kombinatorische Legespiel.
In den beiden Erprobungsklassen bot es sich an, im Sinne des fächervernetzenden Arbeitens, die Unterrichtsidee mit einer Aufgabe im Fach Werken zu verknüpfen. Es entwickelte sich ein kleines Unterrichtsprojekt, bei dem die Lernenden zunächst, ausgehend von der kombinatorischen Problemstellung, Dreiecke mit vier möglichen Farben unterschiedlich zu färben, Spielsteine für ein Knobelspiel entwerfen sollen. Anschließend sollen sie im Werkunterricht für das entstandene Spiel eine Holzkiste zur Aufbewahrung gestalten.
Der Einstieg ins Projekt die geheimnisvolle Kiste
In der Mitte des Stuhlkreises steht eine geheimnisvolle Holzkiste. Alle Kinder sind gespannt auf den Inhalt und können es...

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