1. – 6. Schuljahr

Gudrun Häring

Kombinieren Anordnen Auswählen

Kombinatorische Grundsituationen verstehen und lösen

Auch wenn im Bereich der Grundschule keine systematische Behandlung der verschiedenen kombinatorischen Grundfiguren angestrebt wird, ist das sichere Wissen über kombinatorische Grundsituationen, zentrale Lösungswege und Darstellungsmittel für die Unterrichtsplanung unerlässlich.

In der Kombinatorik der Kunst des geschickten Zählens werden Kombinationen, Anordnungen oder Auswahlen von Elementen einer oder mehrerer Grundmengen betrachtet und die Gesamtheit aller verschiedener Möglichkeiten bestimmt. Dabei entscheidet über die jeweilige Anzahl, ob die Elemente einfach oder mehrfach verwendet werden und die Reihenfolge der Elemente Beachtung findet oder nicht.
Grundlegende kombinatorische Zählprinzipien
Die Zählprinzipien der Kombinatorik erlauben gerade bei wachsender Anzahl der Elemente das rein rechnerische Ermitteln der Möglichkeiten mit Verzicht auf aufwändig zu erstellende sortierte Listen oder Baumdiagramme.
Additionsregel
Einige kombinatorische Problemstellungen lassen sich oft geschickt lösen, indem sie in Teilprobleme zerlegt werden. Man unterscheidet dabei Spezialfälle des Ausgangsproblems, wobei zu beachten ist, dass diese Überlegungen zu disjunkten Teilmengen führen.
Hierzu ein Beispiel:
Sitzordnung
(A)lina, (B)astian und (C)eline möchten sich nebeneinander auf drei Stühle setzen.
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es?
Das Ausgangsproblem, drei Stühle mit drei Personen zu besetzen, lässt sich in Teilprobleme zerlegen, die zu drei disjunkten Mengen führen.
  • Kind A sitzt auf Stuhl 1
  • Kind B sitzt auf Stuhl 1
  • Kind C sitzt auf Stuhl 1
Gemäß der Additionsregel ergeben sich dann für die Gesamtheit aller Möglichkeiten: 2 + 2 + 2 = 6.
Produktregel
Wenn eine Folge von Entscheidungen zu treffen ist, bei der es für die erste Entscheidung p, für die zweite Entscheidung q und für die dritte Entscheidung r Möglichkeiten gibt, dann gibt es für die Folge der Entscheidungen p x q x r Möglichkeiten. Hierzu wieder ein Beispiel:
Menüwahl
Es gibt 3 Möglichkeiten eine Vorspeise zu wählen, 2 für die Hauptspeise und 4 für die Nachspeise.
Die drei Grundmengen, aus denen dabei die Elemente entnommen werden, sind voneinander unabhängig. Es ergeben sich der Produktregel folgend 3 x 2 x 4 = 24 verschiedene Menüs, die zusammengestellt werden können.
Aber auch bei kombinatorischen Grundsituationen, bei denen die Elemente aus einer Menge entnommen werden, kann die Produktregel angewendet werden. Zu beachten ist dann jedoch, ob die Elemente mit oder ohne Wiederholung genutzt werden.
Die Aufgabe „Sitzordnung umfasst auch drei Entscheidungsprozesse für das Besetzen der drei Stühle, da die Elemente (Personen) jedoch nur einmalig zur Verfügung stehen, gibt es zunächst drei Möglichkeiten, den ersten Stuhl zu besetzen, dann noch zwei Möglichkeiten für das Besetzen des zweiten Stuhls und letztlich nur eine Möglichkeit für den dritten Stuhl. Es ergeben sich gemäß Produktregel 3 x 2 x 1 = 6 Möglichkeiten.
Kombinatorische Grundsituationen
In der Kombinatorik wird zwischen den zwei Grundtypen Variation und
Kombination unterschieden. Bei Variationen ist die Reihenfolge der Elemente von Bedeutung, bei Kombinationen hingegen nicht.
Die Permutation, als Spezialfall der Variation, stellt einen dritten Typ in der Kombinatorik dar, bei dem jede Anordnung aus allen n Elementen einer Menge besteht. Bei allen drei Typen wird zwischen Anordnungen mit oder ohne Wiederholung der Elemente unterschieden.
Bei diesen Grundsituationen (Variation, Permutation, Kombination) wird, im Urnenmodell gesprochen, immer aus einer Urne, also aus einer Grundmenge, gezogen. Darüber hinaus spricht man von der Bildung eines Kreuzprodukts, wenn die Elemente, die kombiniert werden, aus mehreren Mengen gezogen werden (z.B. Speisekarte, Menüzusammenstellung).
Um die verschiedenen kombinatorischen Grundsituationen sicher voneinander unterscheiden...

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