1. – 6. Schuljahr

Gudrun Häring

Zählen, ohne zu zählen

Systematisches Zählen und stochastisches Denken durch kombinatorische Fragestellungen anbahnen

Neben der Anbahnung stochastischer Denkweisen können auch der Erwerb allgemeiner Problemlösestrategien, die kindgerechte Entwicklung fundamentaler mathematischer Denkweisen, wie das Erkennen von Mustern und Strukturen, sowie die Entwicklung grundlegender Darstellungskompetenzen durch eine handlungsorientierte Beschäftigung mit kombinatorischen Fragestellungen gelingen.

Ganz sicher haben Sie z.B. beim Kauf von Arzneimitteln schon einmal die Braille-Schrift auf der Verpackung bemerkt. Sie stellt im Alltag eine wichtige Hilfe für blinde und sehbehinderte Menschen dar. Doch vielleicht ist Ihnen nicht bewusst, dass auch das Konstruktionsprinzip dieser Schrift eines von vielen hervorragenden Anwendungsbeispielen für kombinatorische Denkweisen im Alltag darstellt.
Die in vielen Ländern eingeführte „Punktschrift wurde Anfang des 19. Jahrhunderts von dem Franzosen Louis Braille entwickelt, der im Alter von drei Jahren durch einen Unfall erblindete (Abb. 1 ).
Die Zeicheneinheit im Blindenalphabet wird durch die Braillesche Zelle (3x2-Raster) gebildet. Jede der sechs Stellen im Raster kann als erhabener Punkt bzw. als Leerfeld dargestellt werden. Mindestens ein Punkt muss erhaben dargestellt werden.
Dieser Regel folgend, können unterschiedliche Zeichen erzeugt werden. Für Louis Braille galt es bei der Entwicklung der Schrift zunächst zu ermitteln, ob genügend unterschiedliche Zeichen auf diese Weise darstellbar sind.
Was meinen Sie? Wie viele unterschiedliche Zeichen lassen sich nach dem Prinzip der Punktschrift darstellen? Wie gehen Sie beim Bestimmen aller Möglichkeiten vor? Finden Sie die Lösung zeichnerisch? Nutzen Sie das Erstellen einer geordneten Liste aller Möglichkeiten? Oder greifen Sie auf kombinatorische Zählprinzipien oder gar Formeln zurück, um sich sicher zu sein, alle Möglichkeiten gefunden zu haben?
Das ist nur eines zahlreicher Beispiele, die den Nutzen kombinatorischer Denkweisen im Alltag veranschaulicht. Ob Menüwahl oder Mannschaftspaarungen bei Turnieren, es gelingt leicht, kombinatorische Kontexte im Alltag zu entdecken. Es zeigt jedoch auch, wie unsicher wir selbst im Erwachsenenalter bei der Lösung von kombinatorischen Aufgabenstellungen sind. Umso bedeutsamer erscheint der Erwerb tragfähiger Grundvorstellungen im Bereich der Kombinatorik.
Kombinatorik Zählen ohne zu zählen
Anzahlen von Objekten schnell und sicher zu erfassen, gilt als eines der wichtigsten Ziele des ersten Schuljahres. Gelingt das Bestimmen von Anzahlen anfangs nur mühsam zählend, so löst sich das Kind im Verlauf des ersten Schuljahres schrittweise vom bloßen Zählprozess und nutzt stattdessen effizientere Methoden der Anzahlbestimmung. Das schnelle Erfassen von Anzahlen mit Hilfe des Strukturierens einer Menge von Objekten erweist sich als sehr hilfreich. Gedankliche Zerlegungen in Teilmengen oder das Erkennen von Mustern befreien vom zeitraubenden Zählprozess und erweisen sich auch als weniger fehleranfällig.
Ganz ähnliche Lernprozesse zeigen sich beim Kompetenzerwerb im Bereich der Kombinatorik, denn in der Kombinatorik geht es zentral darum, die Anzahl komplex strukturierter Mengen geschickt zu bestimmen, ohne sie einzeln abzählen zu müssen. Folgende Fragen sind für kombinatorische Problemstellungen zentral:
  • Welche Möglichkeiten gibt es?
  • Wie viele Möglichkeiten sind es insgesamt? Wie lassen sich alle Möglichkeiten strukturiert erfassen (und darstellen), sodass man sicher sein kann, alle Möglichkeiten gefunden zu haben?
Es gilt also jeweils zu erkennen, auf welche Weise Elemente aus einer oder mehrerer Grundmengen ausgewählt oder angeordnet werden sollen, welche Elemente dabei als wesentlich voneinander verschieden anzusehen sind, wie groß die Anzahl der Möglichkeiten auf der Basis dieser gegebenen Bedingungen ist und welche systematischen Zählprinzipien...

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