1. – 6. Schuljahr

Silke Ruwisch

Symmetrien in der Ebene und im Raum

Kongruenzabbildungen als Deckabbildungen von Figuren

Verschiedene Symmetriearten als wichtige Eigenschaften von geometrischen Figuren mit Kindern zu thematisieren, ist ebenso wichtig wie eine genauere Klärung des eigenen erwachsenen Symmetrieverständnisses. Vielfach sind wir der Ansicht, dass gerade dieser Begriff doch so grundlegend und alltäglich ist, dass es darüber kaum mehr Erstaunliches zu erfahren gilt.

Kinder, aber auch Erwachsene, verstehen „symmetrisch vorwiegend als Bezeichnung für eine Eigenschaft eines geometrischen Objektes. So lassen sich symmetrische und unsymmetrische Objekte schon im Vorschulalter voneinander unterscheiden. Die ursprüngliche Bedeutung des griechischen Begriffs „symmetrisch, nämlich „gleichmäßig, „ebenmäßig bzw. „regelmäßig scheint unserer Wahrnehmung intuitiv zugänglich. Auch wenn Achsen- und Spiegelsymmetrie für die menschliche Erfahrung herausragend sind, so werden Objekte mit anderen Symmetrie-arten ebenfalls als derart gleichmäßig erkannt (vgl. Abb. 1 ).
Werden die verschiedenen symmetrischen Figuren einmal genauer betrachtet, so lassen sie sich weiter unterteilen: achsensymmetrisch, dreh- bzw. rotationssymmetrisch, schub- bzw. translationssymmetrisch, Figuren mit mehreren verschiedenen Symmetriearten,
Kongruenzabbildungen als mathematische Grundlage
Schon diese Aufzählung macht deutlich, dass wir bei der Namensgebung für verschiedene Symmetriearten auf die zugrundeliegenden Abbildungen verweisen. Mathematisch auch physikalisch und chemisch betrachtet wird mit Symmetrie die Unveränderlichkeit eines Objektes unter verschiedenen Transformationen bezeichnet. Bei den geometrischen Objekten in der Ebene stellen die Kongruenzabbildungen diese wesentlichen Transformationen dar: Achsenspiegelung, Drehung, Verschiebung und Gleitspiegelung.
Eine besondere Transformation ist die Identität. Diese lässt eine Figur einfach unverändert, ähnlich wie die Null bei der Addition. Die Identität erzeugt keine Symmetrie, weil sonst alle Figuren symmetrisch wären. Eine geometrische Figur heißt also dann symmetrisch, wenn man eine andere Kongruenzabbildung als die Identität so auf sie anwenden kann, dass sie danach wieder genauso aussieht wie vorher. Man nennt deshalb alle Kongruenzabbildungen, die eine bestimmte Figur wieder auf sich selbst abbilden, d.h. die Figur mit sich selbst zur Deckung bringen, die Deckabbildungen der Figur. Die Figuren in Abb. 1 heißen dann nicht mehr einfach nur drehsymmetrisch, sondern lassen sich genauer klassifizieren: Die Figur links lässt sich viermal um den Mittelpunkt drehen, sodass die Drehung um 90 °, um 180 °, um 270 ° und um 360 ° bzw. 0 ° Deckabbildungen der Figur sind. Dagegen hat die Figur rechts acht Deckdrehungen, nämlich alle Vielfachen der Drehung um den Mittelpunkt um 45 °: 2x45 °, 3x45 °, 4x45 °, usw. Selbstverständlich ist auch eine Drehung um zehnmal 45° eine Deckdrehung der Figur, aber da sich diese nicht von der Drehung um 2x45 ° unterscheidet (450 ° -360 ° =90 °), werden alle Drehungen um mehr als 360 ° nicht aufgeführt.
Punktsymmetrische Figuren werden hier nicht extra betrachtet. Obwohl sie auch durch eine Spiegelung am Mittelpunkt konstruiert werden können, handelt es sich in der Ebene immer um Figuren mit einer Deckdrehung um 180 °, sodass punktsymmetrische Figuren einen Teil der drehsymmetrischen Figuren bilden.
Die Deckabbildungen endlicher Figuren
Um nicht jede einzelne geometrische Figur lange auf die zugrunde-liegenden Deckabbildungen unter-suchen zu müssen, ist es hilfreich, dass in der Mathematik eine entsprechende Systematik entwickelt wurde. Für alle zweidimensionalen, endlichen Figuren kommen zunächst einmal nur Drehungen und/oder Achsenspiegelungen als mögliche Deckabbildungen in Frage. Verschiebungen und Gleitspiegelungen können nur dann eine Transformation darstellen, die die Figur auf sich selbst abbildet, wenn diese Figur unendlich...

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